احتمال هندسی
ساعت ۱٢:۱٠ ‎ب.ظ روز پنجشنبه ٢٢ فروردین ۱۳۸٧  

بررسی مسئله clean tile 

در سال 1733 بوفون مسائلی را مطرح نمود و از روشهای هندسی آن ها را حل نمود البته تمام جوابهای او درست نبود وتوسط افراد دیگری بررسی وتعمیم داده شد یکی از آن مسائل مسئله  clean tile می باشد، صورت مسئله به شکل زیر می باشد :                                            

در مکانی فرش شده با سرامیک های هم اندازه(به شکل دلخواه)سکه ای را می اندازیم،دو نفر   بر مکان قرارگرفتن سکه شرط بندی می کنند، نفر اول شرط می بنددکه سکه روی یک سرامیک   ونفر دوم شرط می بندد که سکه بین سرامیک ها بیفتد شانس برنده شدن بر یک چقدر است؟  

پاسخ :                                                                                                            قبل از ارائه پاسخ بوفون به این سئوال، شاید بد نباشد که بدانیم، Clean tile یک بازی است که توسط بوفون در سال 1777بررسی شده است.در این بازی،سطحی با سرامیک های هم اندازه پوشانده شده است.هرکدام ازبازیکنان روی تعدادی از کاشی های مختلف شرط بندی می کنند   که با پرتاب یک سکه آنها را خواهدپوشاند.بوفون احتمالات را روی مثلث،مربع، لوزی،شش ضلعی منتظم بررسی کرد. فرض کنید سرامیک ها با ضلع  l و با قطر  d < l ) d ) باشد. روی یک مربع  منتظم یک سکه می تواند به طوری فرود آید که به طور ناقص 3،2،1 یا 4 کاشی را بپوشاند و در   یک شش ضلعی منتظم هر سکه می تواند طوری فرود آید که 2،1 یا 3 کاشی را بپوشاند.

Free Image Hosting

 

 

Free Image Hosting

 

همانطورکه درشکل بالا نشان داده شده است،احتمال اینکه سکه ای باقطر d در داخل سرامیک مجزایی از مربع منتظم، فرش شده از سرامیک های با ضلع l قرار بگیرد ( دایره های زرد در شکل فوق ) برابر است با :

Free Image Hosting

 

 

یعنی نسبت بین مساحت مربع داخلی به مربع اصلی و احتمال اینکه سکه روی 2 مربع یا بیشتر قرار گیرد ( دایره های قرمز رنگ شکل فوق ) برابر است با :

 Free Image Hosting

 

 برای اینکه بازی عادلانه باشد این دو احتمال باید با هم برابر باشند یعنی :

Free Image Hosting

 

Free Image Hosting

احتمال فرود آمدن روی دقیقاً دو سرامیک، نسبتی از منطقه سایه زده در شکل فوق می باشد یعنی : 

   Free Image HostingFree Image HostingFree Image HostingFree Image HostingFree Image Hosting

 

Free Image Hosting در یک مربع منتظم،احتمال فرود آمدن دقیقاً سه سرامیک برابر است با ( ناحیه سایه زده شکل فوق) :

Free Image Hosting

 

 

Free Image Hosting

بطور مشابه احتمال فرود آمدن سکه ها در 4 سرامیک ( ناحیه سایه زده شکل ) برابر است با :

Free Image Hosting

 

بر گرفته از :

http://mathworld.wolfram.com/CleanTileProblem.html


کلمات کلیدی:
 
ژرژ لویی بوفون
ساعت ۱:٢٧ ‎ق.ظ روز یکشنبه ۱۱ فروردین ۱۳۸٧  

«ژرژ لویی بوفون»

درتاریخ 7 سپتامبر 1707میلادی، ژرژ لویی بوفون طبیعی دان و نویسنده فرانسوی متولد شد، این محقق اروپایی بیشترایام عمرخود را صرف تحقیقات علمی کرد مهم ترین اثر خود را با عنوان کتاب تاریخ طبیعی در44 جلد تألیف نمود، این کتاب مجموعه ای از اطلاعات علمی با ارزش درباره تاریخ طبیعی است که به سبکی ساده نگاشته شده است و شهرت اصلی وی نیز به همین کتاب بر    می گردد.اما کارهای وی درزمینه ریاضیات:در ایام جوانی با وجود علاقه مندی به رشته ریاضیات،  به سبب اصرارهای پدرش تحصیلات خود را درزمینه قانون آغاز نمود،اماعلاقه وی درزمینه ریاضیات موجب شد که در سن 20 سالگی قضیه دو جمله ای را کشف نماید، هم چنین به همراه گابریل کرامر روی هندسه،احتمال ، تئوری اعداد و... کار کرد. بوفون از لحاظ مادی بی نیاز بود و در عالی ترین گروهای علمی و سیاسی پاریس دارای نفوذی بسیار بود،Jean Frederic وزیر نیروی دریایی    به منظور تجدیدقوای نیروهای دریایی فرانسه از بوفون خواست تا برای بهبود بخشیدن به ساخت کشتی های جنگی برروی کشش الوارها مطالعه نماید.Memoire sur le jeu de franc carreau    را بعدها منتشر نمود و مشتق و انتگرال را در نظریه احتمال معرفی نمودوبه خاطر همین موضوع    در سال 1734 در فرهنگستان رویال پاریس برگزیده شد. حوضه وسیعی از موضوعاتی که بوفون    در باره آن ها نوشت شامل:ریاضیات، تئوری احتمال، اختر شناسی، فیزیک و ...می باشد بوفون    درسال 1752 با فرانسیسکودی ساینت ازدواج نمود،در این زمان بوفون 45 ساله بود درحالی که همسرش 20 سال داشت،حاصل این ازدواج تولد پسرش درسال 1764 بود،اما همسر بوفون 5 سال بعد درگذشت. مهم ترین مسئله ای که در زمینه ریاضیات مطالعه نمود مسئله Clean tile  می باشد. بوفون در 16 آوریل 1788 در پاریس درگذشت. 

بوفون-98696

بر گرفته از :

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Buffon.html


کلمات کلیدی:
 
پیشامد تصادفی
ساعت ۱٠:۳٧ ‎ب.ظ روز شنبه ۱٠ فروردین ۱۳۸٧  

احتمال به صورت یک نظریه ریاضی 

مصریان قدیم درحدود ۳۵۰۰ سال قبل از میلاد برای بازی از چیزی که امروزه آن را قاپ می‌نامند     و شیئی استخوانی شبیه تاس چهار وجهی است استفاده می‌کردندکه در استخوان زانوی پای بعضی از حیوانات وجود دارد.تاس شش وجهی معمولی در حدود سال های ۱۶۰۰ بعد از میلاد ساخته شدو از آن به بعد درتمام انواع بازیها ابزار اصلی بوده است.دست ورق معمولی بازی که احتمالاً متداولترین وسیله برای بازی وقمار به حساب می‌آید خیلی جدیدتر از تاس است.هرچند معلوم نیست که کی و از کجا منشأ گرفته است ، اما دلایلی وجود دارند که معلوم می‌کنند که دست ورق بین قرنهای هفتم ودهم درچین پیداشده است.بدیهی است که ضمن انجام بازیهای تصادفی،قماربازها درباره فراوانی وقوع پیشامدهای معین ودرباره احتمال آنها ایده‌های شهودی    بدست آوردنداماتعجب اینکه تاقرن پانزدهم هیچگونه تحقیق علمی درمورد پیشامدهای تصادفی انجام نشد.

Free Image Hosting

کلمات کلیدی:
 
تاریخ احتمال
ساعت ۸:۳۳ ‎ب.ظ روز شنبه ۱٠ فروردین ۱۳۸٧  

«پافنوتی وویچ چبیشف»

چبیشف در 16ماه مه 1821 در اکتاوو، روستایی کوچک درروسیه غربی،در غرب مسکو متولد شد. چبیشف در سال 1841 فارغ التحصیل شد و تحصیلات خود را در فوق لیسانس تحت حمایت استاد محبوبش برشمن ادامه داد.اولین مقاله او به زبان فرانسه، در رابطه با انتگرالهای چندگانه٬ در سال 1843در مجله Liouvill منتشر شد.دومین مقاله او نیز به زبان فرانسه بود و این بار در سال1844در مجله Crelle منتشر شد.در تابستان 1846مقاله ای در مجله Crelle بر پایه رساله خود منتشر کرد. رساله ی وی در زمینه تئوری احتمال بود و در آن نتایج حاصل از تئوری احتمال را توسعه داد.او هرگز ازدواج نکرد و سر انجام در 8 دسامبر 1894 در سنت پترزبورگ در روسیه در گذشت. 

  

Free Image Hosting

«بلز پاسکال»

بلز پاسکال در 1623 در ایالت فرانسوی اوورنی متولد شد و خیلی زود توانایی شگفت‌انگیزی در ریاضیات از خود نشان داد.پاسکال درهجده یا نوزده سالگی اولین ماشین حساب را اختراع کرد     و اختراع آن بدان لحاظ بود که پدرش را در ممیزی حسابهای دولتی در روئن یاری نماید. در سال 1650 مقاله مثلث حسابی خود را نوشت، آزمایشات متعددی درباره فشار مایعات به عمل آورد     و مکاتبه به فرما وی را در پی‌ ریزی شالوده‌های نظریه ریاضی احتمالات یاری کرد.

 

Free Image Hosting
  

«پیردو فرما»

فرما در بومون دولمانی نزدیک تولوز در 17 اوت 1601 بدنیا آمد.او که حقوقدانی متواضع و گوشه   گیر بود قسمت اعظم ساعات فراغت خود را وقف مطالعه ی ریاضیات کرد.گرچه در دوران حیات  خود مطالب کمی را منتشر کرد ولی با ریاضیدانان برجسته زیادی که با او همزمان بودند مکاتبه  علمی داشت و از راه همین مکاتبات تا حد زیادی معاصران خود را تحت تاثیر قرار داد.قبلاً خاطر نشان کردیم که مکاتبات بین پاسکال و فرما اساس علم احتمال را پیریزی کرد.او درکاستر یادر  تولوز در 12 ژانویه ی سال 1665 درگذشت. سنگ قبر او که بدواً در کلیسای آگوستین در تولوز   بود،تاریخ مرگ فوق و سن فرما را در بدو مرگ 57 سال میدهد.

Free Image Hosting

«یاکوب برنولی» 

بعد از کارهای پاسکال،فرما و هویگنس کتابهایی که یاکوب برنولی در سالهای زندگی اش نوشت، سبب پیشرفت غیر منتظره ای شد.یاکوب برنولی، یکی از نخستین دانش پژوهان نظریه  احتمالات بود و در این موضوع کتاب فن گمان را نوشت در بخش اول این کتاب مقاله ی هویگنس درباره بازی تصادفی به چاپ رسیده است. قسمت های دیگر به تبدیلات و ترکیبات مربوط می شود و کتاب با قضیه برنولی درباره ی توزیع های دوجمله ای به اوج خود میرسد.

Free Image Hosting

«آبراهام دموآور»

                  

یکی از افراد مهمی که سهمی در نظریه احتمالات داشت آبراهام دوموآور بود. دوموآور یک هوگنوی فرانسوی بود.هوگنو نامیست که به پروتستان های فرانسوی قرون 17و 18 داده شده بود. دوموآور بخصوص به خاطر اثرش قسط السنین عمر که نقش مهمی درتاریخ ریاضیات آمارگری دارد، اثر مهم کمترین شانس که حاوی مطالب جدیدتری درباره ی نظریه ی احتمالات است ونیز اثر جنگ تحلیلی  که درباره ی سریهای متناوب،احتمال و مثلثات تحلیلی است،شهرت دارد.

Free Image Hosting


کلمات کلیدی:
 
علم احتمال
ساعت ٦:٢۳ ‎ق.ظ روز شنبه ۱٠ فروردین ۱۳۸٧  

تاریخچه ای از علم احتمال

پیدایش رسمی احتمال ازقرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس دربازیهای قمار بوده  است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی وحتی در تقسیم کار بین راهبان درمراسم مذهبی وجود داشته است وبه علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسائل حقوق،بیمه،پزشکی ونجوم نیز یافت می شود،امابسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری ازخود در رابطه بااستفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس می باشد باقی نگذاشته اند. ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:

۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند. ۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند. ۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی وغیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.

اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته وفقط احتمال شخصی که مربوط به درجه  اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر دانسته است. پاسکال وفرما اولین کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادندو   این دو نفربه عنوان بنیانگذاران تئوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند.دانشمندانی ازقبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را درآمارهای اجتماعی بکار گرفتند.این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از یاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی،اساس خاصی ازقانون اعدادبزرگ وکاربردهای احتمال درآمارهای اجتماعی نیزمطرح شده است.درقرن هجدهم متفکران بزرگی چون دمو آور،دانیل برنولی،آلمبرت، اویلر، لاگرانژ، بیز، لاپلاس وگاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. جرج  لامو کاردانو و بخصوص گالیلو گالیله از جمله پیشکسوتان دانش ریاضی هستند که احتمال های مربوط به بسیاری از بازی های تصادفی را محاسبه کرده اند. علاوه بر اینها کوشش کرده اند تا مبنایی ریاضی برای احتمال فراهم آورند. کاردانو حتی درباره قمار بازی کتابی نوشت که شامل بخش هایی درباره روش های نیرنگ است.بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارائه می دهد      ولاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند.بسیاری ازمسائل احتمال حتی قبل ازبیان اصول آن توسط کلموگرف درسال ۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است.ولی کلموگرف بابیان اصول احتمال پایه این علم وارتباط دقیق آنرا باریاضی مستحکم می نماید. در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی، نه تنها    کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت بکار می گیرد،بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی     از مسایل ریاضی داشته باشد.نظریه احتمالی اعداد،نظریه احتمالی ترکیباتی و کاربرد  شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز، بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند . از طرف دیگر احتمال به عنوان زیر بنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار، در جهت پیشرفت این علم و  توان بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.مسائل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد ، شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی ، کارآیی علم احتمال     را نشان می دهند.

Free Image Hosting

Free Image Hosting

کلمات کلیدی:
 
شیر یا خط ؟
ساعت ٥:٠٦ ‎ق.ظ روز شنبه ۱٠ فروردین ۱۳۸٧  

شیر یا خط ؟

جنگ عظیمی بین دو کشور درگرفته بود.ماهها از شروع جنگ می گذشت و جنگ کماکان ادامه داشت. سربازان دو طرف خسته شده بودند. فرمانده یکی از دو کشور با طراحی اساسی قصد حمله بزرگی را به دشمن داشت وآن طرح با چنان دقت و درایتی ریخته شده بود که فرمانده به پیروزی نیروهایش اطمینان کامل داشت ولی سربازان خسته ودودل بودند.فرمانده سربازان خود    را جمع کردو راجع به نقشه حمله خود توضیحاتی به آنهاداد.سپس سکه ای از جیب خود درآورد    و گفت: سکه را بالا می اندازم، اگر شیر آمد پیروز می شویم و اگر خط آمد شکست می خوریم. سپس سکه را به بالا پرتاب کرد . سربازان با دقت، حرکت و چرخش سکه را در هوا دنبال کردند    تا به زمین رسید.شیر آمده بود.فریاد شادی سربازان به هوا برخاست.فردای آنروز با نیرویی فوق العاده به دشمن حمله کردند و پیروز شدند. پس از پایان نبرد، معاون فرمانده نزد او آمد و گفت: قربان، آیا شما واقعا می خواستید سرنوشت کشورمان را به یک سکه واگذار کنید؟ فرمانده به     او لبخندی زد و گفت: بله و سکه را به او نشان داد.هر دو طرف سکه شیر بود.

Free Image Hosting


کلمات کلیدی:
 
تحقیق در عملیات
ساعت ٤:٠۱ ‎ق.ظ روز شنبه ۱٠ فروردین ۱۳۸٧  

تاریخچه تحقیق در عملیات

در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی ازدانشمندان دعوتی به عمل آورد   تا درمسائل سوق الجیشی و تدابیرجنگی مربوط به دفاع زمینی وهوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنهاتعیین موثرترین روش استفاده ازمنابع محدودنظامی بود.ازجمله مسائلی که موردبررسی قرار گرفت مطالعه کارایی بمب افکنهای نوع جدیدو روش استفاده از رادار بود که به تازگی اختراع شده بود.تشکیل این گروه علمی به عنوان اولین فعالیت رسمی تحقیق درعملیات به شمار آمده است.نام تحقیق درعملیات ظاهرا بدین مناسبت داده شده بودکه این گروه به پژوهش درعملیات( نظامی ) پرداخته بود. این رشته جدید از آغاز به عنوان رشته ای شناخته شده بود که اطلاعات علمی را ازطریق تلاش گروهی متخصص درنظامهای مختلف به منظور تعیین بهترین نحوه استفاده  از منابع محدود به کار می گیرد. تاثیر تحقیق در عملیات را امروزه می توان در بسیاری از زمینه ها مشاهده نمود.صحت این امر تعداد زیاد موسسات علمی است که دوره هایی درسطوح تحصیلی مختلف دراین رشته عرضه می نمایند.درحال حاضر بسیاری ازشرکتهای مشاور درمدیریت سرگرم فعالیتهای تحقیق درعملیات می باشند.این فعالیتها ازکاربردهای تجاری ونظامی فراتر رفته واکنون بیمارستانها، موسسات مالی،کتابخانه ها،طراحی شهرها،دستگاههای ترابری و حتی بررسیهای کشف جنایت را در برگرفته اند.

 

تحقیق-در-عملیات-97558


کلمات کلیدی:
 
آمار چیست؟
ساعت ۳:٢٧ ‎ق.ظ روز شنبه ۱٠ فروردین ۱۳۸٧  

آمار چیست؟ 

واژه آمار از کلمه لاتین Status سرچشمه گرفته است که به معنای حالت،وضع و یا موقعیت        می باشد.از این واژه به عنوان ریشه واژه های Stato (دولت)، Statista (دولت شناسی یا    کسی که اطلاعات راجع به دولت دارد)، Statistica (آمار)،که مجموعه معین راجع به دولت      می باشد، به وجود آماده است.

علم آمار همانند هر علم دیگر، در نتیجه نیازهای بشر بوجود آمده است و تاریخی غنی دارد  بطوریکه از دورانهای گذشته تا کنون رشدو تکامل آن ادامه یافته است.سرشماریهای بسیار  ابتدایی که به هیچ رو با آمار دموگرافی و سرشماریهای امروزی قیاس شدنی نیست، بنای        آمارکنونی را پی ریزی کرده و آغاز نموده است.با ظهور سرمایه داری و گسترش تجارت،آمار         در مقابل مسائل مرکب ترو پیچیده تر قرار می گیردوحجم اطلاعات جمع آوری شده افزایش       می یابدو در نتیجه کارهای آماری نیز توسعه می یابد.بطوریکه از نظر ماهیت عمیق تر،از نظر   موضوع مورد مطالعه وسیع ترو از نظر وسائلی که به کار گرفته می شود کاملتر میگردد. در          تحقیق های علمی بیش از همه این فکر که آماردر قرن هفدهم به خود شکل یک علم پایه           می گیرد طرفدار پیداکرده است.در اواسط قرن هفدهم در انگلستان یک جریان علمی پدید       آمد که نام‌«حساب سیاسی» به خود گرفت. این جریان علمی را ویلیام پتی و جان گرانت        آغاز کردند و بعد از آنها بنام کتب «حسابدانهای سیاسی» نامیده شد. این دانشمندان در    بررسی های خود از مشخص کننده های آمار بمانند کمیت های نسبی و متوسط استفاده        می کردند. همزمان با ظهور این مکتب، در آلمان مکتب «آمار توصیفی»یا «دولت شناسی»   توسعه یافت. ظهور این علم به سالهای 1660 مربوط میگردد. دانشمندان این مکتب سعی       بسیار داشتند که به طور همه جانبه ای با استفاده از اعداد، دولتها و کشورها را تشریح و      تفسیر کنند. بین دانشمندان دولت شناس،بیش از همه « آخن وال » استاد دروس حقوق         بین الملل و آمار در دانشگاه گوتینگن جلب نظر می کند. بعضی از آماردانان آخن وال را پدر          آمار می دانند. البته از بنیانگذاران علم آمار، قبل از دیگران می توان از « کتله» نام برد.

 

آمار-42066


کلمات کلیدی: