احتمال هندسی
ساعت ۱٢:۱٠ ‎ب.ظ روز پنجشنبه ٢٢ فروردین ۱۳۸٧  

بررسی مسئله clean tile 

در سال 1733 بوفون مسائلی را مطرح نمود و از روشهای هندسی آن ها را حل نمود البته تمام جوابهای او درست نبود وتوسط افراد دیگری بررسی وتعمیم داده شد یکی از آن مسائل مسئله  clean tile می باشد، صورت مسئله به شکل زیر می باشد :                                            

در مکانی فرش شده با سرامیک های هم اندازه(به شکل دلخواه)سکه ای را می اندازیم،دو نفر   بر مکان قرارگرفتن سکه شرط بندی می کنند، نفر اول شرط می بنددکه سکه روی یک سرامیک   ونفر دوم شرط می بندد که سکه بین سرامیک ها بیفتد شانس برنده شدن بر یک چقدر است؟  

پاسخ :                                                                                                            قبل از ارائه پاسخ بوفون به این سئوال، شاید بد نباشد که بدانیم، Clean tile یک بازی است که توسط بوفون در سال 1777بررسی شده است.در این بازی،سطحی با سرامیک های هم اندازه پوشانده شده است.هرکدام ازبازیکنان روی تعدادی از کاشی های مختلف شرط بندی می کنند   که با پرتاب یک سکه آنها را خواهدپوشاند.بوفون احتمالات را روی مثلث،مربع، لوزی،شش ضلعی منتظم بررسی کرد. فرض کنید سرامیک ها با ضلع  l و با قطر  d < l ) d ) باشد. روی یک مربع  منتظم یک سکه می تواند به طوری فرود آید که به طور ناقص 3،2،1 یا 4 کاشی را بپوشاند و در   یک شش ضلعی منتظم هر سکه می تواند طوری فرود آید که 2،1 یا 3 کاشی را بپوشاند.

Free Image Hosting

 

 

Free Image Hosting

 

همانطورکه درشکل بالا نشان داده شده است،احتمال اینکه سکه ای باقطر d در داخل سرامیک مجزایی از مربع منتظم، فرش شده از سرامیک های با ضلع l قرار بگیرد ( دایره های زرد در شکل فوق ) برابر است با :

Free Image Hosting

 

 

یعنی نسبت بین مساحت مربع داخلی به مربع اصلی و احتمال اینکه سکه روی 2 مربع یا بیشتر قرار گیرد ( دایره های قرمز رنگ شکل فوق ) برابر است با :

 Free Image Hosting

 

 برای اینکه بازی عادلانه باشد این دو احتمال باید با هم برابر باشند یعنی :

Free Image Hosting

 

Free Image Hosting

احتمال فرود آمدن روی دقیقاً دو سرامیک، نسبتی از منطقه سایه زده در شکل فوق می باشد یعنی : 

   Free Image HostingFree Image HostingFree Image HostingFree Image HostingFree Image Hosting

 

Free Image Hosting در یک مربع منتظم،احتمال فرود آمدن دقیقاً سه سرامیک برابر است با ( ناحیه سایه زده شکل فوق) :

Free Image Hosting

 

 

Free Image Hosting

بطور مشابه احتمال فرود آمدن سکه ها در 4 سرامیک ( ناحیه سایه زده شکل ) برابر است با :

Free Image Hosting

 

بر گرفته از :

http://mathworld.wolfram.com/CleanTileProblem.html


کلمات کلیدی: