احتمال هندسی

بررسی مسئله clean tile 

در سال 1733 بوفون مسائلی را مطرح نمود و از روشهای هندسی آن ها را حل نمود البته تمام جوابهای او درست نبود وتوسط افراد دیگری بررسی وتعمیم داده شد یکی از آن مسائل مسئله  clean tile می باشد، صورت مسئله به شکل زیر می باشد :                                            

در مکانی فرش شده با سرامیک های هم اندازه(به شکل دلخواه)سکه ای را می اندازیم،دو نفر   بر مکان قرارگرفتن سکه شرط بندی می کنند، نفر اول شرط می بنددکه سکه روی یک سرامیک   ونفر دوم شرط می بندد که سکه بین سرامیک ها بیفتد شانس برنده شدن بر یک چقدر است؟  

پاسخ :                                                                                                            قبل از ارائه پاسخ بوفون به این سئوال، شاید بد نباشد که بدانیم، Clean tile یک بازی است که توسط بوفون در سال 1777بررسی شده است.در این بازی،سطحی با سرامیک های هم اندازه پوشانده شده است.هرکدام ازبازیکنان روی تعدادی از کاشی های مختلف شرط بندی می کنند   که با پرتاب یک سکه آنها را خواهدپوشاند.بوفون احتمالات را روی مثلث،مربع، لوزی،شش ضلعی منتظم بررسی کرد. فرض کنید سرامیک ها با ضلع  l و با قطر  d < l ) d ) باشد. روی یک مربع  منتظم یک سکه می تواند به طوری فرود آید که به طور ناقص 3،2،1 یا 4 کاشی را بپوشاند و در   یک شش ضلعی منتظم هر سکه می تواند طوری فرود آید که 2،1 یا 3 کاشی را بپوشاند.

Free Image Hosting

 

 

Free Image Hosting

 

همانطورکه درشکل بالا نشان داده شده است،احتمال اینکه سکه ای باقطر d در داخل سرامیک مجزایی از مربع منتظم، فرش شده از سرامیک های با ضلع l قرار بگیرد ( دایره های زرد در شکل فوق ) برابر است با :

Free Image Hosting

 

 

یعنی نسبت بین مساحت مربع داخلی به مربع اصلی و احتمال اینکه سکه روی 2 مربع یا بیشتر قرار گیرد ( دایره های قرمز رنگ شکل فوق ) برابر است با :

 Free Image Hosting

 

 برای اینکه بازی عادلانه باشد این دو احتمال باید با هم برابر باشند یعنی :

Free Image Hosting

 

Free Image Hosting

احتمال فرود آمدن روی دقیقاً دو سرامیک، نسبتی از منطقه سایه زده در شکل فوق می باشد یعنی : 

   Free Image HostingFree Image HostingFree Image HostingFree Image HostingFree Image Hosting

 

Free Image Hostingدر یک مربع منتظم،احتمال فرود آمدن دقیقاً سه سرامیک برابر است با ( ناحیه سایه زده شکل فوق) :

Free Image Hosting

 

 

Free Image Hosting

بطور مشابه احتمال فرود آمدن سکه ها در 4 سرامیک ( ناحیه سایه زده شکل ) برابر است با :

Free Image Hosting

 

بر گرفته از :

http://mathworld.wolfram.com/CleanTileProblem.html

/ 12 نظر / 34 بازدید
نمایش نظرات قبلی
حسن پناهی

آقای ولی اله پور از شما به خاطر زحمات بی دریغانه خود جهت تهیه وتنظیم این مرکز تشکر مینماییم گروه آمار86

سمیه

سلام خوبین؟ می خواستم ببینم می تونین در مورد اعداد شش وجهی(1, 6, 15, 28, 45) در مثلث پاسکال کمکم کنید یا هر چی که از مثلث پاسکال می دونین برام آف بزارین یا میل کنین اگه می دونین ممنون می شم[گل]

مهرنوش

سلام وبلاگ پرباری دارید تبریک میگم اینجا هم سر بزنید http://tavalode2bare.persianblog.ir/

میثم اسلامی

با سلام خدمت شما هم رشته ای و دوست ندیده و نشناخته خوبم من دبیر انجمن علمی آمار دانشگاه لرستان هستم خوشحال میشم اگه بتونیم با هم همکاری داشته باشیم درکل چون رشته آمار مثل رشته های دیگه نیست و همینطور که اطلاع دارید موضوعی نیست که بشه بچه ها رو اردو برد و بچه ها هم اصرار دارند به اردو رفتن من این پیغامو به انجمن های دیگه آمار ارسال میکنم تا شاید بتونیم کل دانشگاه ها یک همایش برگزار کنیم در یکی از شهرهای گردشگری با موضوعی نوپا منتظر پیشنهاد شما هستم میثم اسلامی09169656944

سیما نوری جویباری

سلام مطالبه جالبی رو روی وبلاگتون گذاشتین امیدوارم همینطور ادامه داشته باشه

سادیسم

oho adam shodin weblog zadiiin jallal khalegh !! 1sal nabudama

گروه علمی اپائوت

با سلام بسیار خرسندیم که از وبلاگ شما دیدن کردیم گروه علمی فعالیت های زیادی در زمینه ی علمی-اختراعات و کارآفرینی انجام داده است شما میتوانینپد برای اطلاع از برنامه ها، اردو ها و پیوستن به گروه به آدرس www.opaot.blogfa.com مراجعه کنید با تشکر-سرپرست گروه علمی اپائوت

آماری

با عرض سلام و خسته نباشید انجمن علمی دانشجویی آمار با همکاری هیئت علمی آماردانشگاه سیستان و بلوچستان در نظر دارد تا به منظور دستیابی به پاسخ این پرسش که آیا دروس دوره کارشناسی آمار ، دانشجویان را برای بازار کار آماده می کند یا خیر؟ پژوهشی را انجام دهد. به این منظور از شما تقاضامندیم که در دستیابی به این هدف ما را یاری فرمایید. و نیازمند نمونه ای از اساتید دکتری ، هیئت علمی ، کارشناسی ارشد و دانشجویان کارشناسی آمار از دانشگاه شما هستیم اگر تمایل به همکاری و دریافت پرسشنامه دارید لطفا پیامی به همین ایمیل بفرستید. با تشکر انجمن علمی آمار نیازمند پاسخ فوری شما در جهت ارسال پرسشنامه هستیم